Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus

April 12, 2022

Nama : Mochamad Alfath Rahman

Kelas : X MIPA 1

Absen : 34

Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus

Salah satu penggunaan trigonometri adalah menghitung besarnya sudut pada segitiga, menghitung panjang sisi-sisi segitga, dan luas segitiga. Kali ini kita mempelajari materi Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga. Prasyarat materi yang harus dikuasai sebelum mempelajari materi ini adalah "Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku", "Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran", dan "Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi".

Aturan Sinus

Perhatikan segitiga berikut!

Dari gambar di atas, berlaku aturan sinus yaitu :

\begin{aligned} \frac{a}{\sin ∠ A} = \frac{b}{\sin ∠ B} = \frac{c}{\sin ∠ C} \end{aligned}

atau

\begin{aligned} \frac{\sin ∠ A}{a} = \frac{\sin ∠ B}{b} = \frac{\sin ∠ C}{c} \end{aligned}

Pembuktian Rumus aturan sinus :

*). Dari gambar (1a),
Segitiga ADC,

\sin A = \frac{C D}{A C} \to C D = A C \sin A \to C D_{1} = b \sin A

Segitiga BDC,

\sin B = \frac{C D}{B C} \to C D = B C \sin B \to C D_{2} = a \sin B

Dari panjang CD,
diperoleh

C D_{1} = C D_{2} \to b \sin A = a \sin B \to \frac{a}{\sin ∠ A} = \frac{b}{\sin ∠ B}

persamaan (i) :

\frac{a}{\sin ∠ A} = \frac{b}{\sin ∠ B}

*). Dari gambar (1b),
Segitiga AEB,

\sin A = \frac{E B}{A B} \to E B = A B \sin A \to E B_{1} = c \sin A

Segitiga CEB,

\sin C = \frac{E B}{C B} \to E B = C B \sin C \to E B_{2} = a \sin C

Dari panjang EB,
diperoleh

E B_{1} = E B_{2} \to c \sin A = a \sin C \to \frac{a}{\sin ∠ A} = \frac{c}{\sin ∠ C}

persamaan (ii) :

\frac{a}{\sin ∠ A} = \frac{c}{\sin ∠ C}

Dari pers(i) :

\frac{a}{\sin ∠ A} = \frac{b}{\sin ∠ B}

dan pers(ii) :

\frac{a}{\sin ∠ A} = \frac{c}{\sin ∠ C}

Diperoleh :

\frac{a}{\sin ∠ A} = \frac{b}{\sin ∠ B} = \frac{c}{\sin ∠ C}

Jadi, terbukti rumus aturan sinusnya.

Perhatikan segitiga berikut!

Dari gambar di atas, berlaku aturan cosinus yaitu :

\begin{aligned} a^{2} & = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A \\ b^{2} & = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos B \\ c^{2} & = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C \end{aligned}

Pembuktian Rumus aturan Cosinus :

Panjang

A D = x,

maka panjang

B D = c - x,

dengan

A B = c

.
*). Perhatikan segitiga ADC,

\cos A = \frac{A D}{A C} \to \cos A = \frac{x}{b} \to x = b \cos A

...pers(i)
Pythagoras :

C D^{2} = A C^{2} - A D^{2} \to C D^{2} = b^{2} - x^{2}

....pers(ii)
*). Perhatikan segitiga BDC,
Pythagoras :

C D^{2} = B C^{2} - B D^{2} \to C D^{2} = a^{2} - (c - x)^{2}

....pers(iii)
*). Pers (i) dan pers(ii), panjang CD sama :

\begin{aligned} C D^{2} & = C D^{2} \\ b^{2} - x^{2} & = a^{2} - (c - x)^{2} \\ b^{2} - x^{2} & = a^{2} - (c^{2} - 2 c x + x^{2}) \\ b^{2} - x^{2} & = a^{2} - c^{2} + 2 c x - x^{2} \\ a^{2} & = b^{2} + c^{2} - 2 c x [ substitusi pers(i) ] \\ a^{2} & = b^{2} + c^{2} - 2 c . b \cos A \\ a^{2} & = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A \end{aligned}

Diperoleh aturan cosinus pertama :

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A

.

Untuk pembuktian dua aturan cosinus lainnya, cara hampir sama dengan pembuktian aturan cosinus pertama di atas.

Luas Segitiga dengan Fungsi Trigonometri

Perhatikan gambar segitiga ABC berikut,

Rumus Luas Segitiga yang melibatkan sudutnya adalah :
Luas segitiga ABC

= \frac{1}{2} . b . c . \sin A

Luas segitiga ABC

= \frac{1}{2} . a . c . \sin B

Luas segitiga ABC

= \frac{1}{2} . a . b . \sin C

Rumus luas di atas memberikan hasil yang sama, tergantung sudut yang diketahui.

Pembuktian Rumus Luas segitiga
Perhatikan segitiga ADC :

\sin A = \frac{t}{b} \to t = b \sin A

Luas segitiga ABC :

\begin{aligned} Luas segitiga ABC & = \frac{1}{2} \times alas \times tinggi \\ = \frac{1}{2} \times A B \times C D \\ = \frac{1}{2} \times c \times t \\ = \frac{1}{2} \times c \times b \sin A \\ = \frac{1}{2} c b \sin A \end{aligned}

Jadi terbukti rumus luas pertama, rumus luas segitiga berikutnya juga pembuktiannya mirip dengan di atas.

Luas Segitiga Diketahui ketiga sisinya

Untuk menghitung luas segitiga yang diketahui ketiga sisinya, rumusnya disebut rumus Heron. Perhatikan segitiga berikut.

Luas segitiga ABC adalah

\begin{aligned} L = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)} \end{aligned}

dengan

s = \frac{1}{2} (a + b + c) = \frac{1}{2} \times (keliling segitiga ABC)

Search This Blog

Alfathrahman

Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus

Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Contoh soal Kontekstual, Sudut Elevasi dan Sudut Depresi

Luas Segi-n Beraturan, Jari-jari lingkaran luar & dalam segitiga, Garis singgung luar dalam persekutuan lingkaran

Tugas Remidi Mochamad Alfath Rahman