Fungsi Trigonometri Serta Contoh Soalnya

Pengertian Fungsi Trigonometri

Fungsi trigonometri merupakan fungsi yang menggunakan trigonometri. kita ketahui bahwa fungsi terdiri dari fungsi alajabar dan juga fungsi trigonometri. Dalam fungsi trigonometri ini kita tentu menggunakan aturan-aturan trigonometri. seperti aturan sin, cos dan tan. semua itu akan di bahas pada materi ini.

Jenis-jenis fungsi trigonometri
Persamaan Trigonometri
Berikut adalah rumus dari persamaan trigonometri:
Sumber: Dokumentasi penulis
Tabel Trigonometri
Berikut adalah tabel trigonometri pada kuadran I
Sumber: Dokumentasi penulis
Berikut adalah tabel tabel trigonometri pada kuadran II
Sumber: Dokumentasi penulis
Berikut adalah tabel tabel trigonometri pada kuadran III
Sumber: Dokumentasi penulis
Berikut adalah tabel tabel trigonometri pada kuadran IV
Sumber: Dokumentasi penulis
Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam fungsi trigonometri diantaranya:
Sumber: Dokumentasi penulis
Rumus dasar trigonometri
sin²A + cos²A = 1
1 + cot²A = csc²A
tan²A + 1 = sec²A
Rumus trigonometri (jumlah dan selisih sudut)
Sumber: Dokumentasi penulis
Rumus trigonometri perkalian
Sumber: Dokumentasi penulis
Sifat-sifat trigonometri
Sifat trigonometri fleksibel dia dapat diubah kebentuk persamaan kuadrat yang bisa diselesaikan dengan faktorisasi. selain itu bisa menggunakan rumus abc. untuk memperlihatkan bagaiman bentukdari sifat trigonometri mari kita ikuti langkah di bawah ini.
Melengkapi persamaan trigonometri dengan memperhatikan siifat trigonometri
Fungsi f(x) = sin x dan g(x) = cos x adalah fungsi periodik yang berperiode dasar 360° = 2π. Sedangkan fungsi h(x) = tan x dan i(x) = cotan x adalah fungsi periodik yang berperiode dasar 180° = π. K adalah bilangan bulat, maka dapat diketahui sifat trigonometri :
sin (k 2π + A) = sin (k 2π + [π – A ]) = sin A
cos (k 2π + A) = cos (k 2π – A) = cos A
tan (k π + A) = tan A
csc (k 2π + A) = csc A
sec (k 2π + A) = sec A
cot (k π + A) = cot A

Bentuk kurva fungsi trigonometri atau grafik fungsi trigonometri
Suatu fungsi trigonometri f(x) harus terdefinisi pada daerah asalnya dengan nilai x adalah bilangan real.
Grafik fungsi trigonometri y = sin x untuk 0 ≤ x ≤ 2π

Sumber: Dokumentasi penulis
Fungsi Trigonometri Domain x Range f(x)
f(x) = sin x R [-1, 1]

Contoh Soal Fungsi Trigonometri
Untuk lebih memahami fungsi trigonometri mari kita pelajari contoh trigonometri dan pembahasan trigonometri berikut ini:
1. diketahui persamaan trigonometri sin 2x = cos 3x, maka himpunan penyelesaiannya adalah….
Pembahasan:
sin 2x = cos 3x
sin 2x = sin (90° – 3x)
2x = 90° – 3x + k 360°
5x = 90° + k 360°
5x = 90°
x = 18
Atau
5x = 90° + 360°
x = 90
atau
5x = 90° + 720°
x = 162
atau
5x = 90° + 1080°
x = 234
Atau
5x = 90° + 1440°
x = 306
Himpunan penyelesaian dari sin 2x = cos 3x adalah (18°, 90°, 162°, 234°, 306°).

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2 sin² 3x + 2 sin 3x = -4 !
Pembahasan:
2 sin² 3x + 2 sin 3x = -4
2 sin² 3x + 2 sin 3x + 4 = 0
sin² 3x + sin 3x + 2 = 0
(sin 3x + 2)(sin 3x – 1) = 0
sin 3x + 2
sin 3x = -2 (tidak bisa)

Atau
sin 3x – 1
sin 3x = 1 = sin 90
3x = 90
x = 30
Himpunan penyelesaian dari 2 sin² 3x + 2 sin 3x = -4 adalah (30°).

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 3 cos x + 4 sin x = 5.
Pembahasan:
Rumus trigonometri

B. Contoh Soal Sudut Istimewa Trigonometri

1. Tentukan nilai dari Sin 30° + Cos 45° !
2. Tentukan nilai dari Sin 45° . Tan 60° + Cos 45° . Cot 60° !

Jawab :

C. Contoh Soal Identitas Trigonometri
Buktikan identitas-identitas trigonometri di bawah ini !

Jawab :

Soal 1
Jika x di kuadran II dan tan x = a, maka sin x adalah .... A. a/ √(1+a2) D. -1/ √(1+a2) B. -a/ √(1+a2) E. -√(a-a2)/ a C. 1/ √(1+a2) Jawab : tan x = p/q ┌─────────────˄─────────────┐ sin x = p/ √(p2 + q2) cos x = q/ √(p2 + q2)tan x = a/-1 → sin x = -a/ √(1+a2) Jadi jawabannya adalah B
Soal 2
Jika cos x = √5/5, maka ctg ( π/2 - x) = .... A. 6 D. -3 B. 5 E. 2 C. 4 Jawab :
- INGAT -
● cos x = p/q → sin x = √q2 - p2/ q● ctg ( π/2 - x) = tan x● tan x = sin x/cos xcos x = √5/5 → sin x = √25 - 5/ 5 = √20/5 tan x = sin x/cos x = √20/5 / √5/5 = √20/ √5 = √4 = 2Jadi jawabannya adalah E. 2

D. Contoh Soal Jumlah dan Selisih Trigonometri
Tentukan nilai dari sin 105° + sin 15° =........?

Jawab:
sin 105° + sin 15° = 2 sin 1/2 (105° + 15°) . cos 1/2 (105° - 15°) = 2 sin 1/2 (120°) . cos 1/2 (90°) = 2 sin 60° . cos 45° = 2. 1/2 √3. 1/2 √2 = 1/2 √6
Contoh Soal 2:
Tentukan nilai dari cos 75° - cos 15° = .....?

Jawab:
cos 75° - cos 15° = -2 sin 1/2 (75° + 15°) . sin 1/2 (75° - 15°) = -2 sin 1/2 (90°) . sin 1/2 (60°) = -2 sin 45° . sin 30° = -2. 1/2 √2. 1/2 = -1/2 √2

Tentukan nilai dari 2 sin75 cos15 !

Jawab:
2 sin75 cos 15 = sin(75 + 15) + sin(75 - 15) = sin 90 + sin 60 = 1 + 1/2 √3
Contoh soal:
Diketahui nilai Sin A adalah 3/5. Tentukan nilai Sin 2A !

Jawab :
Sin 2A = 2 Sin A Cos A

Cari nilai Cos A, dengan cara membuat konsep perbandingan trigonometri.
Buatlah sebuah segitiga dengan perbandingan depan/miring sama dengan 3/5.
Dengan rumus pythagoras, didapat sisi samping segitiga = 4.
Jadi nilai Cos A = 4/5 ( samping/miring ).
maka:
Sin 2A = 2 Sin A Cos A
= 2 (3/5) (4/5)
= 2 (12/25) Sin 2A = 24/25
Contoh Soal :
Dengan menggunakan rumus penjumlahan dan selisih dua sudut, tentukan nilai dari !
a. sin 75°
b. cos 15°

Jawab :
a. Kita gunakan rumus penjumlahan sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β

sin 75° = sin ( 45° + 30° )
= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
= 1/2 √2 . 1/2 √3 + 1/2 √2 . 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2
= 1/4 ( √6 + √2 )

b. Kita gunakan rumus selisih cos ( α - β ) = cos α cos β + sin α sin β

cos 15° = cos ( 45° - 30° )
= cos 45 cos 30 + sin 45 sin 30
= 1/2 √2 . 1.2 √3 + 1/2 √2 . 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2
= 1/4 ( √6 + √2 )